Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40967 / 8215
↖ ↑ ↗
← N 79.147573°
E 45.038452°		 ← 115 m → N 79.147573°
E 45.043945°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
N 79.146538°
E 45.038452°		 ← 115.01 m →
13 232 m²		 N 79.146538°
E 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625114440917969 y=0.125358581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625114440917969 × 216)
    floor (0.625114440917969 × 65536)
    floor (40967.5)     		tx = 40967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125358581542969 × 216)
    floor (0.125358581542969 × 65536)
    floor (8215.5)     		ty = 8215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40967 / 8215 ti = "16/40967/8215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40967/8215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40967 ÷ 216
    40967 ÷ 65536     		x = 0.625106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8215 ÷ 216
    8215 ÷ 65536     		y = 0.125350952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625106811523438 × 2 - 1) × π
    0.250213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78606928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125350952148438 × 2 - 1) × π
    0.749298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35398939274248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78606928} λ = 0.78606928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35398939274248))-π/2
    2×atan(10.5274843318127)-π/2
    2×1.47609103142407-π/2
    2.95218206284813-1.57079632675     		φ = 1.38138574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78606928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38138574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.147573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40967 KachelY 8215 0.78606928 1.38138574 45.038452 79.147573
    Oben rechts KachelX + 1 40968 KachelY 8215 0.78616515 1.38138574 45.043945 79.147573
    Unten links KachelX 40967 KachelY + 1 8216 0.78606928 1.38136768 45.038452 79.146538
    Unten rechts KachelX + 1 40968 KachelY + 1 8216 0.78616515 1.38136768 45.043945 79.146538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38138574-1.38136768) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dl = 115.06025999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38138574-1.38136768) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dr = 115.06025999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78606928-0.78616515) × cos(1.38138574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188280055940831 × 6371000     		do = 114.999155503573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78606928-0.78616515) × cos(1.38136768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188297792913896 × 6371000     		du = 115.009989029798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38138574)-sin(1.38136768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188280055940831-0.188297792913896)×R²
    abs(0.78616515-0.78606928)×1.77369730650079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77369730650079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77369730650079e-05×40589641000000     		ar = 13232.4559863694m²