Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40968 / 24584
↖ ↑ ↗
← N 40.946714°
E 45.043945°		 ← 461.39 m → N 40.946714°
E 45.049439°		 →
↑
461.39 m
↓
↑
461.39 m
↓
N 40.942564°
E 45.043945°		 ← 461.42 m →
212 885 m²		 N 40.942564°
E 45.049439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625129699707031 y=0.375129699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625129699707031 × 216)
    floor (0.625129699707031 × 65536)
    floor (40968.5)     		tx = 40968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375129699707031 × 216)
    floor (0.375129699707031 × 65536)
    floor (24584.5)     		ty = 24584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40968 / 24584 ti = "16/40968/24584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40968/24584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40968 ÷ 216
    40968 ÷ 65536     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24584 ÷ 216
    24584 ÷ 65536     		y = 0.3751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.784631172981079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784631172981079))-π/2
    2×atan(2.19159847091892)-π/2
    2×1.14272564905248-π/2
    2.28545129810496-1.57079632675     		φ = 0.71465497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71465497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.946714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40968 KachelY 24584 0.78616515 0.71465497 45.043945 40.946714
    Oben rechts KachelX + 1 40969 KachelY 24584 0.78626103 0.71465497 45.049439 40.946714
    Unten links KachelX 40968 KachelY + 1 24585 0.78616515 0.71458255 45.043945 40.942564
    Unten rechts KachelX + 1 40969 KachelY + 1 24585 0.78626103 0.71458255 45.049439 40.942564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71465497-0.71458255) × R
    7.2419999999962e-05 × 6371000     		dl = 461.387819999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71465497-0.71458255) × R
    7.2419999999962e-05 × 6371000     		dr = 461.387819999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78626103) × cos(0.71465497) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.755319403939046 × 6371000     		do = 461.387975769116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78626103) × cos(0.71458255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.755366862901231 × 6371000     		du = 461.416966146406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71465497)-sin(0.71458255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755319403939046-0.755366862901231)×R²
    abs(0.78626103-0.78616515)×4.74589621849431e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74589621849431e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74589621849431e-05×40589641000000     		ar = 212885.480310944m²