Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40968 / 57352
↖ ↑ ↗
← S 79.179587°
E 45.043945°		 ← 114.68 m → S 79.179587°
E 45.049439°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 79.180619°
E 45.043945°		 ← 114.67 m →
13 150 m²		 S 79.180619°
E 45.049439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625129699707031 y=0.875129699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625129699707031 × 216)
    floor (0.625129699707031 × 65536)
    floor (40968.5)     		tx = 40968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875129699707031 × 216)
    floor (0.875129699707031 × 65536)
    floor (57352.5)     		ty = 57352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40968 / 57352 ti = "16/40968/57352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40968/57352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40968 ÷ 216
    40968 ÷ 65536     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57352 ÷ 216
    57352 ÷ 65536     		y = 0.8751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35696148051892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35696148051892))-π/2
    2×atan(0.0947075571978028)-π/2
    2×0.0944259109038883-π/2
    0.188851821807777-1.57079632675     		φ = -1.38194450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38194450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.179587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40968 KachelY 57352 0.78616515 -1.38194450 45.043945 -79.179587
    Oben rechts KachelX + 1 40969 KachelY 57352 0.78626103 -1.38194450 45.049439 -79.179587
    Unten links KachelX 40968 KachelY + 1 57353 0.78616515 -1.38196250 45.043945 -79.180619
    Unten rechts KachelX + 1 40969 KachelY + 1 57353 0.78626103 -1.38196250 45.049439 -79.180619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38194450--1.38196250) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38194450--1.38196250) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78626103) × cos(-1.38194450) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187731259787686 × 6371000     		do = 114.67591788363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78626103) × cos(-1.38196250) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187713579789525 × 6371000     		du = 114.665118030587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38194450)-sin(-1.38196250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187731259787686-0.187713579789525)×R²
    abs(0.78626103-0.78616515)×1.76799981606302e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76799981606302e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76799981606302e-05×40589641000000     		ar = 13150.185658663m²