Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40970 / 24586
↖ ↑ ↗
← N 40.938415°
E 45.054932°		 ← 461.45 m → N 40.938415°
E 45.060425°		 →
↑
461.45 m
↓
↑
461.45 m
↓
N 40.934265°
E 45.054932°		 ← 461.47 m →
212 942 m²		 N 40.934265°
E 45.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625160217285156 y=0.375160217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625160217285156 × 216)
    floor (0.625160217285156 × 65536)
    floor (40970.5)     		tx = 40970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375160217285156 × 216)
    floor (0.375160217285156 × 65536)
    floor (24586.5)     		ty = 24586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40970 / 24586 ti = "16/40970/24586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40970/24586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40970 ÷ 216
    40970 ÷ 65536     		x = 0.625152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24586 ÷ 216
    24586 ÷ 65536     		y = 0.375152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625152587890625 × 2 - 1) × π
    0.25030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78635690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375152587890625 × 2 - 1) × π
    0.24969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.784439425382599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78635690} λ = 0.78635690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784439425382599))-π/2
    2×atan(2.19117827746212)-π/2
    2×1.14265322916176-π/2
    2.28530645832352-1.57079632675     		φ = 0.71451013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78635690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71451013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.938415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40970 KachelY 24586 0.78635690 0.71451013 45.054932 40.938415
    Oben rechts KachelX + 1 40971 KachelY 24586 0.78645278 0.71451013 45.060425 40.938415
    Unten links KachelX 40970 KachelY + 1 24587 0.78635690 0.71443770 45.054932 40.934265
    Unten rechts KachelX + 1 40971 KachelY + 1 24587 0.78645278 0.71443770 45.060425 40.934265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71451013-0.71443770) × R
    7.24300000000122e-05 × 6371000     		dl = 461.451530000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71451013-0.71443770) × R
    7.24300000000122e-05 × 6371000     		dr = 461.451530000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78635690-0.78645278) × cos(0.71451013) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.755414317901776 × 6371000     		do = 461.445954103188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78635690-0.78645278) × cos(0.71443770) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.75546177549236 × 6371000     		du = 461.474943642633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71451013)-sin(0.71443770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755414317901776-0.75546177549236)×R²
    abs(0.78645278-0.78635690)×4.74575905839991e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74575905839991e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74575905839991e-05×40589641000000     		ar = 212941.630259724m²