Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40971 / 8203
↖ ↑ ↗
← N 79.159977°
E 45.060425°		 ← 114.87 m → N 79.159977°
E 45.065918°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
N 79.158944°
E 45.060425°		 ← 114.88 m →
13 196 m²		 N 79.158944°
E 45.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625175476074219 y=0.125175476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625175476074219 × 216)
    floor (0.625175476074219 × 65536)
    floor (40971.5)     		tx = 40971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125175476074219 × 216)
    floor (0.125175476074219 × 65536)
    floor (8203.5)     		ty = 8203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40971 / 8203 ti = "16/40971/8203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40971/8203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40971 ÷ 216
    40971 ÷ 65536     		x = 0.625167846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8203 ÷ 216
    8203 ÷ 65536     		y = 0.125167846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625167846679688 × 2 - 1) × π
    0.250335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78645278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125167846679688 × 2 - 1) × π
    0.749664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35513987833336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78645278} λ = 0.78645278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35513987833336))-π/2
    2×atan(10.5396030206964)-π/2
    2×1.47619927700578-π/2
    2.95239855401156-1.57079632675     		φ = 1.38160223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78645278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.060425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38160223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.159977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40971 KachelY 8203 0.78645278 1.38160223 45.060425 79.159977
    Oben rechts KachelX + 1 40972 KachelY 8203 0.78654865 1.38160223 45.065918 79.159977
    Unten links KachelX 40971 KachelY + 1 8204 0.78645278 1.38158420 45.060425 79.158944
    Unten rechts KachelX + 1 40972 KachelY + 1 8204 0.78654865 1.38158420 45.065918 79.158944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38160223-1.38158420) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38160223-1.38158420) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78645278-0.78654865) × cos(1.38160223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188067433371629 × 6371000     		do = 114.869288238678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78645278-0.78654865) × cos(1.38158420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18808514161587 × 6371000     		du = 114.880104217689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38160223)-sin(1.38158420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188067433371629-0.18808514161587)×R²
    abs(0.78654865-0.78645278)×1.770824424141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.770824424141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.770824424141e-05×40589641000000     		ar = 13195.556414848m²