Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40972 / 8204
↖ ↑ ↗
← N 79.158944°
E 45.065918°		 ← 114.88 m → N 79.158944°
E 45.071411°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
N 79.157910°
E 45.065918°		 ← 114.89 m →
13 204 m²		 N 79.157910°
E 45.071411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625190734863281 y=0.125190734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625190734863281 × 216)
    floor (0.625190734863281 × 65536)
    floor (40972.5)     		tx = 40972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125190734863281 × 216)
    floor (0.125190734863281 × 65536)
    floor (8204.5)     		ty = 8204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40972 / 8204 ti = "16/40972/8204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40972/8204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40972 ÷ 216
    40972 ÷ 65536     		x = 0.62518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8204 ÷ 216
    8204 ÷ 65536     		y = 0.12518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62518310546875 × 2 - 1) × π
    0.2503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78654865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12518310546875 × 2 - 1) × π
    0.7496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35504400453412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78654865} λ = 0.78654865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35504400453412))-π/2
    2×atan(10.5385925973497)-π/2
    2×1.4761902612115-π/2
    2.952380522423-1.57079632675     		φ = 1.38158420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78654865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38158420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.158944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40972 KachelY 8204 0.78654865 1.38158420 45.065918 79.158944
    Oben rechts KachelX + 1 40973 KachelY 8204 0.78664452 1.38158420 45.071411 79.158944
    Unten links KachelX 40972 KachelY + 1 8205 0.78654865 1.38156616 45.065918 79.157910
    Unten rechts KachelX + 1 40973 KachelY + 1 8205 0.78664452 1.38156616 45.071411 79.157910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38158420-1.38156616) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38158420-1.38156616) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78654865-0.78664452) × cos(1.38158420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18808514161587 × 6371000     		do = 114.880104217689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78654865-0.78664452) × cos(1.38156616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188102859620462 × 6371000     		du = 114.890926158203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38158420)-sin(1.38156616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18808514161587-0.188102859620462)×R²
    abs(0.78664452-0.78654865)×1.77180045920211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77180045920211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77180045920211e-05×40589641000000     		ar = 13204.1185362376m²