Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40976 / 8208
↖ ↑ ↗
← N 79.154810°
E 45.087890°		 ← 114.94 m → N 79.154810°
E 45.093384°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
N 79.153776°
E 45.087890°		 ← 114.95 m →
13 210 m²		 N 79.153776°
E 45.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625251770019531 y=0.125251770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625251770019531 × 216)
    floor (0.625251770019531 × 65536)
    floor (40976.5)     		tx = 40976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125251770019531 × 216)
    floor (0.125251770019531 × 65536)
    floor (8208.5)     		ty = 8208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40976 / 8208 ti = "16/40976/8208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40976/8208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40976 ÷ 216
    40976 ÷ 65536     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8208 ÷ 216
    8208 ÷ 65536     		y = 0.125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125244140625 × 2 - 1) × π
    0.74951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35466050933716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35466050933716))-π/2
    2×atan(10.5345518725547)-π/2
    2×1.47615418954371-π/2
    2.95230837908742-1.57079632675     		φ = 1.38151205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38151205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.154810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40976 KachelY 8208 0.78693214 1.38151205 45.087890 79.154810
    Oben rechts KachelX + 1 40977 KachelY 8208 0.78702802 1.38151205 45.093384 79.154810
    Unten links KachelX 40976 KachelY + 1 8209 0.78693214 1.38149401 45.087890 79.153776
    Unten rechts KachelX + 1 40977 KachelY + 1 8209 0.78702802 1.38149401 45.093384 79.153776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38151205-1.38149401) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38151205-1.38149401) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78702802) × cos(1.38151205) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188156003445525 × 6371000     		do = 114.935373175642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78702802) × cos(1.38149401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18817372120525 × 6371000     		du = 114.946196095392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38151205)-sin(1.38149401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188156003445525-0.18817372120525)×R²
    abs(0.78702802-0.78693214)×1.77177597253664e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77177597253664e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77177597253664e-05×40589641000000     		ar = 13210.4708104159m²