Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40978 / 8211
↖ ↑ ↗
← N 79.151709°
E 45.098877°		 ← 114.97 m → N 79.151709°
E 45.104370°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
N 79.150675°
E 45.098877°		 ← 114.98 m →
13 222 m²		 N 79.150675°
E 45.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625282287597656 y=0.125297546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625282287597656 × 216)
    floor (0.625282287597656 × 65536)
    floor (40978.5)     		tx = 40978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125297546386719 × 216)
    floor (0.125297546386719 × 65536)
    floor (8211.5)     		ty = 8211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40978 / 8211 ti = "16/40978/8211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40978/8211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40978 ÷ 216
    40978 ÷ 65536     		x = 0.625274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8211 ÷ 216
    8211 ÷ 65536     		y = 0.125289916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625274658203125 × 2 - 1) × π
    0.25054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78712389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125289916992188 × 2 - 1) × π
    0.749420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35437288793944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78712389} λ = 0.78712389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35437288793944))-π/2
    2×atan(10.53152234572)-π/2
    2×1.47612712687549-π/2
    2.95225425375097-1.57079632675     		φ = 1.38145793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78712389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38145793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.151709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40978 KachelY 8211 0.78712389 1.38145793 45.098877 79.151709
    Oben rechts KachelX + 1 40979 KachelY 8211 0.78721977 1.38145793 45.104370 79.151709
    Unten links KachelX 40978 KachelY + 1 8212 0.78712389 1.38143988 45.098877 79.150675
    Unten rechts KachelX + 1 40979 KachelY + 1 8212 0.78721977 1.38143988 45.104370 79.150675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38145793-1.38143988) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38145793-1.38143988) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78712389-0.78721977) × cos(1.38145793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188209156540976 × 6371000     		do = 114.967841822532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78712389-0.78721977) × cos(1.38143988) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188226883938221 × 6371000     		du = 114.978670629375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38145793)-sin(1.38143988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188209156540976-0.188226883938221)×R²
    abs(0.78721977-0.78712389)×1.77273972450931e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77273972450931e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77273972450931e-05×40589641000000     		ar = 13221.5278087093m²