Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40979 / 8213
↖ ↑ ↗
← N 79.149641°
E 45.104370°		 ← 114.98 m → N 79.149641°
E 45.109863°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
N 79.148607°
E 45.104370°		 ← 114.99 m →
13 215 m²		 N 79.148607°
E 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625297546386719 y=0.125328063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625297546386719 × 216)
    floor (0.625297546386719 × 65536)
    floor (40979.5)     		tx = 40979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125328063964844 × 216)
    floor (0.125328063964844 × 65536)
    floor (8213.5)     		ty = 8213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40979 / 8213 ti = "16/40979/8213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40979/8213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40979 ÷ 216
    40979 ÷ 65536     		x = 0.625289916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8213 ÷ 216
    8213 ÷ 65536     		y = 0.125320434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625289916992188 × 2 - 1) × π
    0.250579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78721977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125320434570312 × 2 - 1) × π
    0.749359130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35418114034096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78721977} λ = 0.78721977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35418114034096))-π/2
    2×atan(10.5295031451965)-π/2
    2×1.47610908084915-π/2
    2.95221816169829-1.57079632675     		φ = 1.38142183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78721977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38142183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.149641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40979 KachelY 8213 0.78721977 1.38142183 45.104370 79.149641
    Oben rechts KachelX + 1 40980 KachelY 8213 0.78731564 1.38142183 45.109863 79.149641
    Unten links KachelX 40979 KachelY + 1 8214 0.78721977 1.38140379 45.104370 79.148607
    Unten rechts KachelX + 1 40980 KachelY + 1 8214 0.78731564 1.38140379 45.109863 79.148607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38142183-1.38140379) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38142183-1.38140379) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78721977-0.78731564) × cos(1.38142183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188244611274142 × 6371000     		do = 114.977506334647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78721977-0.78731564) × cos(1.38140379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188262328727544 × 6371000     		du = 114.988327938501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38142183)-sin(1.38140379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188244611274142-0.188262328727544)×R²
    abs(0.78731564-0.78721977)×1.77174534020108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77174534020108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77174534020108e-05×40589641000000     		ar = 13215.3132183887m²