Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4098 / 12290
↖ ↑ ↗
← S 66.530768°
W 89.956055°		 ← 973.05 m → S 66.530768°
W 89.934082°		 →
↑
972.85 m
↓
↑
972.85 m
↓
S 66.539517°
W 89.956055°		 ← 972.71 m →
946 468 m²		 S 66.539517°
W 89.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.250152587890625 y=0.750152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.250152587890625 × 214)
    floor (0.250152587890625 × 16384)
    floor (4098.5)     		tx = 4098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750152587890625 × 214)
    floor (0.750152587890625 × 16384)
    floor (12290.5)     		ty = 12290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4098 / 12290 ti = "14/4098/12290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4098/12290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4098 ÷ 214
    4098 ÷ 16384     		x = 0.2501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12290 ÷ 214
    12290 ÷ 16384     		y = 0.7501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.57002934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57156331714392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57002934} λ = -1.57002934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57156331714392))-π/2
    2×atan(0.207720195851407)-π/2
    2×0.204807684713618-π/2
    0.409615369427237-1.57079632675     		φ = -1.16118096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57002934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16118096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.530768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4098 KachelY 12290 -1.57002934 -1.16118096 -89.956055 -66.530768
    Oben rechts KachelX + 1 4099 KachelY 12290 -1.56964584 -1.16118096 -89.934082 -66.530768
    Unten links KachelX 4098 KachelY + 1 12291 -1.57002934 -1.16133366 -89.956055 -66.539517
    Unten rechts KachelX + 1 4099 KachelY + 1 12291 -1.56964584 -1.16133366 -89.934082 -66.539517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16118096--1.16133366) × R
    0.000152699999999895 × 6371000     		dl = 972.851699999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16118096--1.16133366) × R
    0.000152699999999895 × 6371000     		dr = 972.851699999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57002934--1.56964584) × cos(-1.16118096) × R
    0.000383500000000092 × 0.398256543385904 × 6371000     		do = 973.051649939329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57002934--1.56964584) × cos(-1.16133366) × R
    0.000383500000000092 × 0.398116470992315 × 6371000     		du = 972.70941407163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16118096)-sin(-1.16133366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398256543385904-0.398116470992315)×R²
    abs(-1.56964584--1.57002934)×0.000140072393588597×R²
    0.000383500000000092×0.000140072393588597×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140072393588597×40589641000000     		ar = 946468.481298239m²