Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40980 / 24596
↖ ↑ ↗
← N 40.896906°
E 45.109863°		 ← 461.69 m → N 40.896906°
E 45.115356°		 →
↑
461.71 m
↓
↑
461.71 m
↓
N 40.892754°
E 45.109863°		 ← 461.72 m →
213 171 m²		 N 40.892754°
E 45.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625312805175781 y=0.375312805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625312805175781 × 216)
    floor (0.625312805175781 × 65536)
    floor (40980.5)     		tx = 40980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375312805175781 × 216)
    floor (0.375312805175781 × 65536)
    floor (24596.5)     		ty = 24596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40980 / 24596 ti = "16/40980/24596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40980/24596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40980 ÷ 216
    40980 ÷ 65536     		x = 0.62530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24596 ÷ 216
    24596 ÷ 65536     		y = 0.37530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.783480687390198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78731564} λ = 0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783480687390198))-π/2
    2×atan(2.18907851831967)-π/2
    2×1.14229099322231-π/2
    2.28458198644461-1.57079632675     		φ = 0.71378566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71378566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.896906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40980 KachelY 24596 0.78731564 0.71378566 45.109863 40.896906
    Oben rechts KachelX + 1 40981 KachelY 24596 0.78741151 0.71378566 45.115356 40.896906
    Unten links KachelX 40980 KachelY + 1 24597 0.78731564 0.71371319 45.109863 40.892754
    Unten rechts KachelX + 1 40981 KachelY + 1 24597 0.78741151 0.71371319 45.115356 40.892754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71378566-0.71371319) × R
    7.24699999999912e-05 × 6371000     		dl = 461.706369999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71378566-0.71371319) × R
    7.24699999999912e-05 × 6371000     		dr = 461.706369999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78731564-0.78741151) × cos(0.71378566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75588882673133 × 6371000     		do = 461.687650847135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78731564-0.78741151) × cos(0.71371319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755936270854898 × 6371000     		du = 461.716629137569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71378566)-sin(0.71371319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75588882673133-0.755936270854898)×R²
    abs(0.78741151-0.78731564)×4.74441235681633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74441235681633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74441235681633e-05×40589641000000     		ar = 213170.81917056m²