Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40981 / 8212
↖ ↑ ↗
← N 79.150675°
E 45.115356°		 ← 114.98 m → N 79.150675°
E 45.120850°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
N 79.149641°
E 45.115356°		 ← 114.99 m →
13 223 m²		 N 79.149641°
E 45.120850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625328063964844 y=0.125312805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625328063964844 × 216)
    floor (0.625328063964844 × 65536)
    floor (40981.5)     		tx = 40981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125312805175781 × 216)
    floor (0.125312805175781 × 65536)
    floor (8212.5)     		ty = 8212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40981 / 8212 ti = "16/40981/8212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40981/8212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40981 ÷ 216
    40981 ÷ 65536     		x = 0.625320434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8212 ÷ 216
    8212 ÷ 65536     		y = 0.12530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625320434570312 × 2 - 1) × π
    0.250640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78741151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12530517578125 × 2 - 1) × π
    0.7493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3542770141402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78741151} λ = 0.78741151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3542770141402))-π/2
    2×atan(10.5305126970611)-π/2
    2×1.47611810428712-π/2
    2.95223620857424-1.57079632675     		φ = 1.38143988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78741151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.115356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38143988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.150675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40981 KachelY 8212 0.78741151 1.38143988 45.115356 79.150675
    Oben rechts KachelX + 1 40982 KachelY 8212 0.78750739 1.38143988 45.120850 79.150675
    Unten links KachelX 40981 KachelY + 1 8213 0.78741151 1.38142183 45.115356 79.149641
    Unten rechts KachelX + 1 40982 KachelY + 1 8213 0.78750739 1.38142183 45.120850 79.149641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38143988-1.38142183) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38143988-1.38142183) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78741151-0.78750739) × cos(1.38143988) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188226883938221 × 6371000     		do = 114.978670629508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78741151-0.78750739) × cos(1.38142183) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188244611274142 × 6371000     		du = 114.989499398892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38143988)-sin(1.38142183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188226883938221-0.188244611274142)×R²
    abs(0.78750739-0.78741151)×1.77273359203145e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77273359203145e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77273359203145e-05×40589641000000     		ar = 13222.7730818638m²