Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40984 / 8184
↖ ↑ ↗
← N 79.179588°
E 45.131836°		 ← 114.68 m → N 79.179588°
E 45.137329°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
N 79.178557°
E 45.131836°		 ← 114.69 m →
13 151 m²		 N 79.178557°
E 45.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625373840332031 y=0.124885559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625373840332031 × 216)
    floor (0.625373840332031 × 65536)
    floor (40984.5)     		tx = 40984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124885559082031 × 216)
    floor (0.124885559082031 × 65536)
    floor (8184.5)     		ty = 8184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40984 / 8184 ti = "16/40984/8184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40984/8184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40984 ÷ 216
    40984 ÷ 65536     		x = 0.6253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8184 ÷ 216
    8184 ÷ 65536     		y = 0.1248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6253662109375 × 2 - 1) × π
    0.250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78769913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1248779296875 × 2 - 1) × π
    0.750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35696148051892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78769913} λ = 0.78769913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35696148051892))-π/2
    2×atan(10.5588194816538)-π/2
    2×1.47637041589101-π/2
    2.95274083178202-1.57079632675     		φ = 1.38194451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78769913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38194451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.179588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40984 KachelY 8184 0.78769913 1.38194451 45.131836 79.179588
    Oben rechts KachelX + 1 40985 KachelY 8184 0.78779501 1.38194451 45.137329 79.179588
    Unten links KachelX 40984 KachelY + 1 8185 0.78769913 1.38192651 45.131836 79.178557
    Unten rechts KachelX + 1 40985 KachelY + 1 8185 0.78779501 1.38192651 45.137329 79.178557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38194451-1.38192651) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38194451-1.38192651) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78769913-0.78779501) × cos(1.38194451) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187731249965481 × 6371000     		do = 114.675911883589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78769913-0.78779501) × cos(1.38192651) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187748929902851 × 6371000     		du = 114.686711699498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38194451)-sin(1.38192651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187731249965481-0.187748929902851)×R²
    abs(0.78779501-0.78769913)×1.7679937369508e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7679937369508e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7679937369508e-05×40589641000000     		ar = 13151.4234742698m²