Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40988 / 8236
↖ ↑ ↗
← N 79.125832°
E 45.153809°		 ← 115.23 m → N 79.125832°
E 45.159302°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 79.124795°
E 45.153809°		 ← 115.24 m →
13 281 m²		 N 79.124795°
E 45.159302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625434875488281 y=0.125679016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625434875488281 × 216)
    floor (0.625434875488281 × 65536)
    floor (40988.5)     		tx = 40988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125679016113281 × 216)
    floor (0.125679016113281 × 65536)
    floor (8236.5)     		ty = 8236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40988 / 8236 ti = "16/40988/8236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40988/8236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40988 ÷ 216
    40988 ÷ 65536     		x = 0.62542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8236 ÷ 216
    8236 ÷ 65536     		y = 0.12567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62542724609375 × 2 - 1) × π
    0.2508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78808263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12567138671875 × 2 - 1) × π
    0.7486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35197604295844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78808263} λ = 0.78808263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35197604295844))-π/2
    2×atan(10.5063101461803)-π/2
    2×1.47590130710663-π/2
    2.95180261421327-1.57079632675     		φ = 1.38100629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78808263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38100629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.125832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40988 KachelY 8236 0.78808263 1.38100629 45.153809 79.125832
    Oben rechts KachelX + 1 40989 KachelY 8236 0.78817850 1.38100629 45.159302 79.125832
    Unten links KachelX 40988 KachelY + 1 8237 0.78808263 1.38098820 45.153809 79.124795
    Unten rechts KachelX + 1 40989 KachelY + 1 8237 0.78817850 1.38098820 45.159302 79.124795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38100629-1.38098820) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38100629-1.38098820) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78808263-0.78817850) × cos(1.38100629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188652706058506 × 6371000     		do = 115.226765637938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78808263-0.78817850) × cos(1.38098820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188670471201189 × 6371000     		du = 115.237616369821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38100629)-sin(1.38098820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188652706058506-0.188670471201189)×R²
    abs(0.78817850-0.78808263)×1.77651426829517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77651426829517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77651426829517e-05×40589641000000     		ar = 13280.6701864024m²