Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40992 / 57376
↖ ↑ ↗
← S 79.204309°
E 45.175781°		 ← 114.42 m → S 79.204309°
E 45.181274°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 79.205338°
E 45.175781°		 ← 114.41 m →
13 091 m²		 S 79.205338°
E 45.181274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625495910644531 y=0.875495910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625495910644531 × 216)
    floor (0.625495910644531 × 65536)
    floor (40992.5)     		tx = 40992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875495910644531 × 216)
    floor (0.875495910644531 × 65536)
    floor (57376.5)     		ty = 57376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40992 / 57376 ti = "16/40992/57376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40992/57376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40992 ÷ 216
    40992 ÷ 65536     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57376 ÷ 216
    57376 ÷ 65536     		y = 0.87548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87548828125 × 2 - 1) × π
    -0.7509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35926245170068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35926245170068))-π/2
    2×atan(0.0944898883588949)-π/2
    2×0.0942101726894681-π/2
    0.188420345378936-1.57079632675     		φ = -1.38237598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38237598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.204309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40992 KachelY 57376 0.78846612 -1.38237598 45.175781 -79.204309
    Oben rechts KachelX + 1 40993 KachelY 57376 0.78856200 -1.38237598 45.181274 -79.204309
    Unten links KachelX 40992 KachelY + 1 57377 0.78846612 -1.38239394 45.175781 -79.205338
    Unten rechts KachelX + 1 40993 KachelY + 1 57377 0.78856200 -1.38239394 45.181274 -79.205338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38237598--1.38239394) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38237598--1.38239394) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78856200) × cos(-1.38237598) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18730743385405 × 6371000     		do = 114.417023184674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78856200) × cos(-1.38239394) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187289791691751 × 6371000     		du = 114.406246443723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38237598)-sin(-1.38239394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18730743385405-0.187289791691751)×R²
    abs(0.78856200-0.78846612)×1.76421622989364e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76421622989364e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76421622989364e-05×40589641000000     		ar = 13091.3407966981m²