Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40993 / 8225
↖ ↑ ↗
← N 79.137225°
E 45.181274°		 ← 115.11 m → N 79.137225°
E 45.186767°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
N 79.136190°
E 45.181274°		 ← 115.12 m →
13 252 m²		 N 79.136190°
E 45.186767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625511169433594 y=0.125511169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625511169433594 × 216)
    floor (0.625511169433594 × 65536)
    floor (40993.5)     		tx = 40993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125511169433594 × 216)
    floor (0.125511169433594 × 65536)
    floor (8225.5)     		ty = 8225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40993 / 8225 ti = "16/40993/8225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40993/8225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40993 ÷ 216
    40993 ÷ 65536     		x = 0.625503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8225 ÷ 216
    8225 ÷ 65536     		y = 0.125503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625503540039062 × 2 - 1) × π
    0.251007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78856200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125503540039062 × 2 - 1) × π
    0.748992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35303065475008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78856200} λ = 0.78856200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35303065475008))-π/2
    2×atan(10.5173960693923)-π/2
    2×1.47600073329598-π/2
    2.95200146659196-1.57079632675     		φ = 1.38120514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78856200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38120514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.137225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40993 KachelY 8225 0.78856200 1.38120514 45.181274 79.137225
    Oben rechts KachelX + 1 40994 KachelY 8225 0.78865787 1.38120514 45.186767 79.137225
    Unten links KachelX 40993 KachelY + 1 8226 0.78856200 1.38118707 45.181274 79.136190
    Unten rechts KachelX + 1 40994 KachelY + 1 8226 0.78865787 1.38118707 45.186767 79.136190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38120514-1.38118707) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dl = 115.123970000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38120514-1.38118707) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dr = 115.123970000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78856200-0.78865787) × cos(1.38120514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188457422907073 × 6371000     		do = 115.107489077355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78856200-0.78865787) × cos(1.38118707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188475169086498 × 6371000     		du = 115.118328226713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38120514)-sin(1.38118707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188457422907073-0.188475169086498)×R²
    abs(0.78865787-0.78856200)×1.77461794255429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77461794255429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77461794255429e-05×40589641000000     		ar = 13252.2550427499m²