Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40995 / 8228
↖ ↑ ↗
← N 79.134119°
E 45.192261°		 ← 115.14 m → N 79.134119°
E 45.197754°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 79.133083°
E 45.192261°		 ← 115.15 m →
13 263 m²		 N 79.133083°
E 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625541687011719 y=0.125556945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625541687011719 × 216)
    floor (0.625541687011719 × 65536)
    floor (40995.5)     		tx = 40995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125556945800781 × 216)
    floor (0.125556945800781 × 65536)
    floor (8228.5)     		ty = 8228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40995 / 8228 ti = "16/40995/8228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40995/8228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40995 ÷ 216
    40995 ÷ 65536     		x = 0.625534057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8228 ÷ 216
    8228 ÷ 65536     		y = 0.12554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625534057617188 × 2 - 1) × π
    0.251068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78875375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12554931640625 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35274303335236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78875375} λ = 0.78875375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35274303335236))-π/2
    2×atan(10.5143714762242)-π/2
    2×1.47597362727417-π/2
    2.95194725454833-1.57079632675     		φ = 1.38115093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78875375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.192261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38115093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.134119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40995 KachelY 8228 0.78875375 1.38115093 45.192261 79.134119
    Oben rechts KachelX + 1 40996 KachelY 8228 0.78884962 1.38115093 45.197754 79.134119
    Unten links KachelX 40995 KachelY + 1 8229 0.78875375 1.38113285 45.192261 79.133083
    Unten rechts KachelX + 1 40996 KachelY + 1 8229 0.78884962 1.38113285 45.197754 79.133083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38115093-1.38113285) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38115093-1.38113285) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78875375-0.78884962) × cos(1.38115093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188510661260718 × 6371000     		do = 115.140006412657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78875375-0.78884962) × cos(1.38113285) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188528417076178 × 6371000     		du = 115.150851447586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38115093)-sin(1.38113285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188510661260718-0.188528417076178)×R²
    abs(0.78884962-0.78875375)×1.77558154599577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77558154599577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77558154599577e-05×40589641000000     		ar = 13263.3348215602m²