Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40996 / 8227
↖ ↑ ↗
← N 79.135154°
E 45.197754°		 ← 115.13 m → N 79.135154°
E 45.203247°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
N 79.134119°
E 45.197754°		 ← 115.14 m →
13 255 m²		 N 79.134119°
E 45.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625556945800781 y=0.125541687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625556945800781 × 216)
    floor (0.625556945800781 × 65536)
    floor (40996.5)     		tx = 40996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125541687011719 × 216)
    floor (0.125541687011719 × 65536)
    floor (8227.5)     		ty = 8227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40996 / 8227 ti = "16/40996/8227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40996/8227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40996 ÷ 216
    40996 ÷ 65536     		x = 0.62554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8227 ÷ 216
    8227 ÷ 65536     		y = 0.125534057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    0.2510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78884962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125534057617188 × 2 - 1) × π
    0.748931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3528389071516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78884962} λ = 0.78884962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3528389071516))-π/2
    2×atan(10.5153795772887)-π/2
    2×1.47598266346551-π/2
    2.95196532693102-1.57079632675     		φ = 1.38116900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78884962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38116900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.135154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40996 KachelY 8227 0.78884962 1.38116900 45.197754 79.135154
    Oben rechts KachelX + 1 40997 KachelY 8227 0.78894549 1.38116900 45.203247 79.135154
    Unten links KachelX 40996 KachelY + 1 8228 0.78884962 1.38115093 45.197754 79.134119
    Unten rechts KachelX + 1 40997 KachelY + 1 8228 0.78894549 1.38115093 45.203247 79.134119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38116900-1.38115093) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dl = 115.123970000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38116900-1.38115093) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dr = 115.123970000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78884962-0.78894549) × cos(1.38116900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188492915204382 × 6371000     		do = 115.129167338481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78884962-0.78894549) × cos(1.38115093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188510661260718 × 6371000     		du = 115.140006412657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38116900)-sin(1.38115093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188492915204382-0.188510661260718)×R²
    abs(0.78894549-0.78884962)×1.77460563360876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77460563360876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77460563360876e-05×40589641000000     		ar = 13254.7507256871m²