Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40997 / 8229
↖ ↑ ↗
← N 79.133083°
E 45.203247°		 ← 115.16 m → N 79.133083°
E 45.208740°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
N 79.132048°
E 45.203247°		 ← 115.17 m →
13 259 m²		 N 79.132048°
E 45.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625572204589844 y=0.125572204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625572204589844 × 216)
    floor (0.625572204589844 × 65536)
    floor (40997.5)     		tx = 40997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125572204589844 × 216)
    floor (0.125572204589844 × 65536)
    floor (8229.5)     		ty = 8229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40997 / 8229 ti = "16/40997/8229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40997/8229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40997 ÷ 216
    40997 ÷ 65536     		x = 0.625564575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8229 ÷ 216
    8229 ÷ 65536     		y = 0.125564575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625564575195312 × 2 - 1) × π
    0.251129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78894549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125564575195312 × 2 - 1) × π
    0.748870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35264715955312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78894549} λ = 0.78894549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35264715955312))-π/2
    2×atan(10.5133634718055)-π/2
    2×1.47596459023198-π/2
    2.95192918046396-1.57079632675     		φ = 1.38113285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78894549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38113285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.133083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40997 KachelY 8229 0.78894549 1.38113285 45.203247 79.133083
    Oben rechts KachelX + 1 40998 KachelY 8229 0.78904137 1.38113285 45.208740 79.133083
    Unten links KachelX 40997 KachelY + 1 8230 0.78894549 1.38111478 45.203247 79.132048
    Unten rechts KachelX + 1 40998 KachelY + 1 8230 0.78904137 1.38111478 45.208740 79.132048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38113285-1.38111478) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dl = 115.123969999173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38113285-1.38111478) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dr = 115.123969999173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78894549-0.78904137) × cos(1.38113285) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188528417076178 × 6371000     		do = 115.162862592965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78894549-0.78904137) × cos(1.38111478) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188546163009367 × 6371000     		du = 115.173702722518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38113285)-sin(1.38111478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188528417076178-0.188546163009367)×R²
    abs(0.78904137-0.78894549)×1.77459331891505e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77459331891505e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77459331891505e-05×40589641000000     		ar = 13258.6299179696m²