Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40998 / 8230
↖ ↑ ↗
← N 79.132048°
E 45.208740°		 ← 115.16 m → N 79.132048°
E 45.214233°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 79.131012°
E 45.208740°		 ← 115.17 m →
13 266 m²		 N 79.131012°
E 45.214233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625587463378906 y=0.125587463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625587463378906 × 216)
    floor (0.625587463378906 × 65536)
    floor (40998.5)     		tx = 40998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125587463378906 × 216)
    floor (0.125587463378906 × 65536)
    floor (8230.5)     		ty = 8230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40998 / 8230 ti = "16/40998/8230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40998/8230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40998 ÷ 216
    40998 ÷ 65536     		x = 0.625579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8230 ÷ 216
    8230 ÷ 65536     		y = 0.125579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625579833984375 × 2 - 1) × π
    0.25115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78904137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125579833984375 × 2 - 1) × π
    0.74884033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35255128575388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78904137} λ = 0.78904137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35255128575388))-π/2
    2×atan(10.5123555640234)-π/2
    2×1.47595555233888-π/2
    2.95191110467775-1.57079632675     		φ = 1.38111478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78904137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.208740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38111478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.132048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40998 KachelY 8230 0.78904137 1.38111478 45.208740 79.132048
    Oben rechts KachelX + 1 40999 KachelY 8230 0.78913724 1.38111478 45.214233 79.132048
    Unten links KachelX 40998 KachelY + 1 8231 0.78904137 1.38109670 45.208740 79.131012
    Unten rechts KachelX + 1 40999 KachelY + 1 8231 0.78913724 1.38109670 45.214233 79.131012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38111478-1.38109670) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38111478-1.38109670) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78904137-0.78913724) × cos(1.38111478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188546163009367 × 6371000     		do = 115.161690446545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78904137-0.78913724) × cos(1.38109670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1885639187016 × 6371000     		du = 115.172535406209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38111478)-sin(1.38109670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188546163009367-0.1885639187016)×R²
    abs(0.78913724-0.78904137)×1.77556922335009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77556922335009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77556922335009e-05×40589641000000     		ar = 13265.8325505644m²