Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40999 / 8233
↖ ↑ ↗
← N 79.128940°
E 45.214233°		 ← 115.21 m → N 79.128940°
E 45.219727°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 79.127904°
E 45.214233°		 ← 115.22 m →
13 271 m²		 N 79.127904°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625602722167969 y=0.125633239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625602722167969 × 216)
    floor (0.625602722167969 × 65536)
    floor (40999.5)     		tx = 40999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125633239746094 × 216)
    floor (0.125633239746094 × 65536)
    floor (8233.5)     		ty = 8233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40999 / 8233 ti = "16/40999/8233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40999/8233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40999 ÷ 216
    40999 ÷ 65536     		x = 0.625595092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8233 ÷ 216
    8233 ÷ 65536     		y = 0.125625610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625595092773438 × 2 - 1) × π
    0.251190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78913724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125625610351562 × 2 - 1) × π
    0.748748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35226366435616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78913724} λ = 0.78913724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35226366435616))-π/2
    2×atan(10.509332420404)-π/2
    2×1.47592843355328-π/2
    2.95185686710656-1.57079632675     		φ = 1.38106054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78913724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.214233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38106054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.128940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40999 KachelY 8233 0.78913724 1.38106054 45.214233 79.128940
    Oben rechts KachelX + 1 41000 KachelY 8233 0.78923312 1.38106054 45.219727 79.128940
    Unten links KachelX 40999 KachelY + 1 8234 0.78913724 1.38104246 45.214233 79.127904
    Unten rechts KachelX + 1 41000 KachelY + 1 8234 0.78923312 1.38104246 45.219727 79.127904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38106054-1.38104246) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38106054-1.38104246) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78913724-0.78923312) × cos(1.38106054) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188599429901145 × 6371000     		do = 115.206240882328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78913724-0.78923312) × cos(1.38104246) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188617185408444 × 6371000     		du = 115.21708686024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38106054)-sin(1.38104246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188599429901145-0.188617185408444)×R²
    abs(0.78923312-0.78913724)×1.77555072991276e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77555072991276e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77555072991276e-05×40589641000000     		ar = 13270.9642705825m²