Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 41 / 25
↖ ↑ ↗
← N 36.597889°
E 50.625000°		 ← 502.153 km → N 36.597889°
E 56.250000°		 →
↑
516.581 km
↓
↑
516.581 km
↓
N 31.952162°
E 50.625000°		 ← 530.706 km →
266 924 km²		 N 31.952162°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6484375 y=0.3984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6484375 × 26)
    floor (0.6484375 × 64)
    floor (41.5)     		tx = 41
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3984375 × 26)
    floor (0.3984375 × 64)
    floor (25.5)     		ty = 25
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 41 / 25 ti = "6/41/25"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/41/25.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41 ÷ 26
    41 ÷ 64     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25 ÷ 26
    25 ÷ 64     		y = 0.390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390625 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687223392953125))-π/2
    2×atan(1.98818744685741)-π/2
    2×1.10477499571553-π/2
    2.20954999143106-1.57079632675     		φ = 0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41 KachelY 25 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 42 KachelY 25 0.98174770 0.63875366 56.250000 36.597889
    Unten links KachelX 41 KachelY + 1 26 0.88357293 0.55767043 50.625000 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 42 KachelY + 1 26 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63875366-0.55767043) × R
    0.08108323 × 6371000     		dl = 516581.25833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63875366-0.55767043) × R
    0.08108323 × 6371000     		dr = 516581.25833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.98174770) × cos(0.63875366) × R
    0.09817477 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 502153.1584721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.98174770) × cos(0.55767043) × R
    0.09817477 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 530706.4328962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63875366)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.848490246343458)×R²
    abs(0.98174770-0.88357293)×0.0456508030584892×R²
    0.09817477×0.0456508030584892×6371000²
    0.09817477×0.0456508030584892×40589641000000     		ar = 266924210604.065m²