Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4100 / 4092
↖ ↑ ↗
← N  0.175781°
E  0.175781°		 ← 4 886.47 m → N  0.175781°
E  0.219726°		 →
↑
4 886.49 m
↓
↑
4 886.49 m
↓
N  0.131836°
E  0.175781°		 ← 4 886.48 m →
23 877 730 m²		 N  0.131836°
E  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50054931640625 y=0.49957275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50054931640625 × 213)
    floor (0.50054931640625 × 8192)
    floor (4100.5)     		tx = 4100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49957275390625 × 213)
    floor (0.49957275390625 × 8192)
    floor (4092.5)     		ty = 4092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4100 / 4092 ti = "13/4100/4092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4100/4092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4100 ÷ 213
    4100 ÷ 8192     		x = 0.50048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4092 ÷ 213
    4092 ÷ 8192     		y = 0.49951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00306796} λ = 0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00306796157568359))-π/2
    2×atan(1.0030726725863)-π/2
    2×0.786932141778892-π/2
    1.57386428355778-1.57079632675     		φ = 0.00306796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00306796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.175781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4100 KachelY 4092 0.00306796 0.00306796 0.175781 0.175781
    Oben rechts KachelX + 1 4101 KachelY 4092 0.00383495 0.00306796 0.219726 0.175781
    Unten links KachelX 4100 KachelY + 1 4093 0.00306796 0.00230097 0.175781 0.131836
    Unten rechts KachelX + 1 4101 KachelY + 1 4093 0.00383495 0.00230097 0.219726 0.131836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00306796-0.00230097) × R
    0.00076699 × 6371000     		dl = 4886.49329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00306796-0.00230097) × R
    0.00076699 × 6371000     		dr = 4886.49329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00306796-0.00383495) × cos(0.00306796) × R
    0.00076699 × 0.999995293814411 × 6371000     		do = 4886.4702932557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00306796-0.00383495) × cos(0.00230097) × R
    0.00076699 × 0.999997352769697 × 6371000     		du = 4886.48035432689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00306796)-sin(0.00230097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995293814411-0.999997352769697)×R²
    abs(0.00383495-0.00306796)×2.05895528693212e-06×R²
    0.00076699×2.05895528693212e-06×6371000²
    0.00076699×2.05895528693212e-06×40589641000000     		ar = 23877730.0520101m²