Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41000 / 57384
↖ ↑ ↗
← S 79.212538°
E 45.219727°		 ← 114.32 m → S 79.212538°
E 45.225220°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 79.213565°
E 45.219727°		 ← 114.31 m →
13 066 m²		 S 79.213565°
E 45.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625617980957031 y=0.875617980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625617980957031 × 216)
    floor (0.625617980957031 × 65536)
    floor (41000.5)     		tx = 41000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875617980957031 × 216)
    floor (0.875617980957031 × 65536)
    floor (57384.5)     		ty = 57384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41000 / 57384 ti = "16/41000/57384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41000/57384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41000 ÷ 216
    41000 ÷ 65536     		x = 0.6256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57384 ÷ 216
    57384 ÷ 65536     		y = 0.8756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    0.251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78923312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78923312} λ = 0.78923312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3600294420946))-π/2
    2×atan(0.0944174433080815)-π/2
    2×0.0941383682417059-π/2
    0.188276736483412-1.57079632675     		φ = -1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78923312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.219727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41000 KachelY 57384 0.78923312 -1.38251959 45.219727 -79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 41001 KachelY 57384 0.78932899 -1.38251959 45.225220 -79.212538
    Unten links KachelX 41000 KachelY + 1 57385 0.78923312 -1.38253753 45.219727 -79.213565
    Unten rechts KachelX + 1 41001 KachelY + 1 57385 0.78932899 -1.38253753 45.225220 -79.213565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38251959--1.38253753) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38251959--1.38253753) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78923312-0.78932899) × cos(-1.38251959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 114.318925858989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78923312-0.78932899) × cos(-1.38253753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187148740628832 × 6371000     		du = 114.30816194699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38251959)-sin(-1.38253753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.187148740628832)×R²
    abs(0.78932899-0.78923312)×1.76229985723586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76229985723586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76229985723586e-05×40589641000000     		ar = 13065.5510928412m²