Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41000 / 8232
↖ ↑ ↗
← N 79.129976°
E 45.219727°		 ← 115.18 m → N 79.129976°
E 45.225220°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 79.128940°
E 45.219727°		 ← 115.19 m →
13 268 m²		 N 79.128940°
E 45.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625617980957031 y=0.125617980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625617980957031 × 216)
    floor (0.625617980957031 × 65536)
    floor (41000.5)     		tx = 41000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125617980957031 × 216)
    floor (0.125617980957031 × 65536)
    floor (8232.5)     		ty = 8232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41000 / 8232 ti = "16/41000/8232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41000/8232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41000 ÷ 216
    41000 ÷ 65536     		x = 0.6256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8232 ÷ 216
    8232 ÷ 65536     		y = 0.1256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    0.251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78923312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1256103515625 × 2 - 1) × π
    0.748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3523595381554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78923312} λ = 0.78923312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3523595381554))-π/2
    2×atan(10.5103400383319)-π/2
    2×1.4759374739996-π/2
    2.95187494799921-1.57079632675     		φ = 1.38107862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78923312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.219727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38107862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.129976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41000 KachelY 8232 0.78923312 1.38107862 45.219727 79.129976
    Oben rechts KachelX + 1 41001 KachelY 8232 0.78932899 1.38107862 45.225220 79.129976
    Unten links KachelX 41000 KachelY + 1 8233 0.78923312 1.38106054 45.219727 79.128940
    Unten rechts KachelX + 1 41001 KachelY + 1 8233 0.78932899 1.38106054 45.225220 79.128940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38107862-1.38106054) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38107862-1.38106054) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78923312-0.78932899) × cos(1.38107862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188581674332195 × 6371000     		do = 115.183380328225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78923312-0.78932899) × cos(1.38106054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188599429901145 × 6371000     		du = 115.194225212589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38107862)-sin(1.38106054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188581674332195-0.188599429901145)×R²
    abs(0.78932899-0.78923312)×1.77555689497289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77555689497289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77555689497289e-05×40589641000000     		ar = 13268.3309535266m²