Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41002 / 8234
↖ ↑ ↗
← N 79.127904°
E 45.230713°		 ← 115.22 m → N 79.127904°
E 45.236206°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 79.126868°
E 45.230713°		 ← 115.23 m →
13 280 m²		 N 79.126868°
E 45.236206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625648498535156 y=0.125648498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625648498535156 × 216)
    floor (0.625648498535156 × 65536)
    floor (41002.5)     		tx = 41002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125648498535156 × 216)
    floor (0.125648498535156 × 65536)
    floor (8234.5)     		ty = 8234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41002 / 8234 ti = "16/41002/8234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41002/8234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41002 ÷ 216
    41002 ÷ 65536     		x = 0.625640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8234 ÷ 216
    8234 ÷ 65536     		y = 0.125640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625640869140625 × 2 - 1) × π
    0.25128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78942486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125640869140625 × 2 - 1) × π
    0.74871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35216779055692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78942486} λ = 0.78942486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35216779055692))-π/2
    2×atan(10.5083248990756)-π/2
    2×1.47591939225573-π/2
    2.95183878451145-1.57079632675     		φ = 1.38104246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78942486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38104246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.127904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41002 KachelY 8234 0.78942486 1.38104246 45.230713 79.127904
    Oben rechts KachelX + 1 41003 KachelY 8234 0.78952074 1.38104246 45.236206 79.127904
    Unten links KachelX 41002 KachelY + 1 8235 0.78942486 1.38102437 45.230713 79.126868
    Unten rechts KachelX + 1 41003 KachelY + 1 8235 0.78952074 1.38102437 45.236206 79.126868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38104246-1.38102437) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38104246-1.38102437) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78942486-0.78952074) × cos(1.38104246) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188617185408444 × 6371000     		do = 115.21708686024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78942486-0.78952074) × cos(1.38102437) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188634950674559 × 6371000     		du = 115.227938799339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38104246)-sin(1.38102437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188617185408444-0.188634950674559)×R²
    abs(0.78952074-0.78942486)×1.77652661154659e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77652661154659e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77652661154659e-05×40589641000000     		ar = 13279.5547629519m²