Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41007 / 8239
↖ ↑ ↗
← N 79.122722°
E 45.258179°		 ← 115.27 m → N 79.122722°
E 45.263672°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 79.121686°
E 45.258179°		 ← 115.28 m →
13 286 m²		 N 79.121686°
E 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625724792480469 y=0.125724792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625724792480469 × 216)
    floor (0.625724792480469 × 65536)
    floor (41007.5)     		tx = 41007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125724792480469 × 216)
    floor (0.125724792480469 × 65536)
    floor (8239.5)     		ty = 8239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41007 / 8239 ti = "16/41007/8239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41007/8239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41007 ÷ 216
    41007 ÷ 65536     		x = 0.625717163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8239 ÷ 216
    8239 ÷ 65536     		y = 0.125717163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625717163085938 × 2 - 1) × π
    0.251434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78990423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125717163085938 × 2 - 1) × π
    0.748565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35168842156071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78990423} λ = 0.78990423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35168842156071))-π/2
    2×atan(10.5032887411024)-π/2
    2×1.47587417299685-π/2
    2.95174834599371-1.57079632675     		φ = 1.38095202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78990423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.258179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38095202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.122722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41007 KachelY 8239 0.78990423 1.38095202 45.258179 79.122722
    Oben rechts KachelX + 1 41008 KachelY 8239 0.79000011 1.38095202 45.263672 79.122722
    Unten links KachelX 41007 KachelY + 1 8240 0.78990423 1.38093393 45.258179 79.121686
    Unten rechts KachelX + 1 41008 KachelY + 1 8240 0.79000011 1.38093393 45.263672 79.121686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38095202-1.38093393) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38095202-1.38093393) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78990423-0.79000011) × cos(1.38095202) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188706001301323 × 6371000     		do = 115.271340179853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78990423-0.79000011) × cos(1.38093393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188723766258762 × 6371000     		du = 115.282191930397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38095202)-sin(1.38093393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188706001301323-0.188723766258762)×R²
    abs(0.79000011-0.78990423)×1.77649574393257e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77649574393257e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77649574393257e-05×40589641000000     		ar = 13285.8075229005m²