Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41008 / 8240
↖ ↑ ↗
← N 79.121686°
E 45.263672°		 ← 115.27 m → N 79.121686°
E 45.269165°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
N 79.120649°
E 45.263672°		 ← 115.28 m →
13 293 m²		 N 79.120649°
E 45.269165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625740051269531 y=0.125740051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625740051269531 × 216)
    floor (0.625740051269531 × 65536)
    floor (41008.5)     		tx = 41008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125740051269531 × 216)
    floor (0.125740051269531 × 65536)
    floor (8240.5)     		ty = 8240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41008 / 8240 ti = "16/41008/8240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41008/8240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41008 ÷ 216
    41008 ÷ 65536     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8240 ÷ 216
    8240 ÷ 65536     		y = 0.125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125732421875 × 2 - 1) × π
    0.74853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35159254776147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35159254776147))-π/2
    2×atan(10.5022817991767)-π/2
    2×1.47586512659032-π/2
    2.95173025318063-1.57079632675     		φ = 1.38093393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38093393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.121686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41008 KachelY 8240 0.79000011 1.38093393 45.263672 79.121686
    Oben rechts KachelX + 1 41009 KachelY 8240 0.79009598 1.38093393 45.269165 79.121686
    Unten links KachelX 41008 KachelY + 1 8241 0.79000011 1.38091583 45.263672 79.120649
    Unten rechts KachelX + 1 41009 KachelY + 1 8241 0.79009598 1.38091583 45.269165 79.120649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38093393-1.38091583) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dl = 115.31510000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38093393-1.38091583) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dr = 115.31510000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79009598) × cos(1.38093393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188723766258762 × 6371000     		do = 115.270168339188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79009598) × cos(1.38091583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18874154097471 × 6371000     		du = 115.281024918304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38093393)-sin(1.38091583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188723766258762-0.18874154097471)×R²
    abs(0.79009598-0.79000011)×1.77747159479658e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77747159479658e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77747159479658e-05×40589641000000     		ar = 13293.0169533499m²