Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41009 / 8177
↖ ↑ ↗
← N 79.186804°
E 45.269165°		 ← 114.59 m → N 79.186804°
E 45.274658°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
N 79.185774°
E 45.269165°		 ← 114.60 m →
13 127 m²		 N 79.185774°
E 45.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625755310058594 y=0.124778747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625755310058594 × 216)
    floor (0.625755310058594 × 65536)
    floor (41009.5)     		tx = 41009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124778747558594 × 216)
    floor (0.124778747558594 × 65536)
    floor (8177.5)     		ty = 8177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41009 / 8177 ti = "16/41009/8177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41009/8177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41009 ÷ 216
    41009 ÷ 65536     		x = 0.625747680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8177 ÷ 216
    8177 ÷ 65536     		y = 0.124771118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625747680664062 × 2 - 1) × π
    0.251495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79009598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124771118164062 × 2 - 1) × π
    0.750457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3576325971136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79009598} λ = 0.79009598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3576325971136))-π/2
    2×atan(10.5659080589931)-π/2
    2×1.47643338991306-π/2
    2.95286677982612-1.57079632675     		φ = 1.38207045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79009598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.269165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38207045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.186804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41009 KachelY 8177 0.79009598 1.38207045 45.269165 79.186804
    Oben rechts KachelX + 1 41010 KachelY 8177 0.79019185 1.38207045 45.274658 79.186804
    Unten links KachelX 41009 KachelY + 1 8178 0.79009598 1.38205247 45.269165 79.185774
    Unten rechts KachelX + 1 41010 KachelY + 1 8178 0.79019185 1.38205247 45.274658 79.185774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38207045-1.38205247) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38207045-1.38205247) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79009598-0.79019185) × cos(1.38207045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187607547635763 × 6371000     		do = 114.588395655614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79009598-0.79019185) × cos(1.38205247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18762520835377 × 6371000     		du = 114.599182606182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38207045)-sin(1.38205247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187607547635763-0.18762520835377)×R²
    abs(0.79019185-0.79009598)×1.76607180071287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76607180071287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76607180071287e-05×40589641000000     		ar = 13126.7850098048m²