Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41012 / 8244
↖ ↑ ↗
← N 79.117538°
E 45.285644°		 ← 115.31 m → N 79.117538°
E 45.291137°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
N 79.116501°
E 45.285644°		 ← 115.32 m →
13 298 m²		 N 79.116501°
E 45.291137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625801086425781 y=0.125801086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625801086425781 × 216)
    floor (0.625801086425781 × 65536)
    floor (41012.5)     		tx = 41012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125801086425781 × 216)
    floor (0.125801086425781 × 65536)
    floor (8244.5)     		ty = 8244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41012 / 8244 ti = "16/41012/8244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41012/8244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41012 ÷ 216
    41012 ÷ 65536     		x = 0.62579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8244 ÷ 216
    8244 ÷ 65536     		y = 0.12579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62579345703125 × 2 - 1) × π
    0.2515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79038360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12579345703125 × 2 - 1) × π
    0.7484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35120905256451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79038360} λ = 0.79038360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35120905256451))-π/2
    2×atan(10.4982549967287)-π/2
    2×1.47582893244571-π/2
    2.95165786489142-1.57079632675     		φ = 1.38086154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79038360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.285644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38086154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.117538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41012 KachelY 8244 0.79038360 1.38086154 45.285644 79.117538
    Oben rechts KachelX + 1 41013 KachelY 8244 0.79047947 1.38086154 45.291137 79.117538
    Unten links KachelX 41012 KachelY + 1 8245 0.79038360 1.38084344 45.285644 79.116501
    Unten rechts KachelX + 1 41013 KachelY + 1 8245 0.79047947 1.38084344 45.291137 79.116501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38086154-1.38084344) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dl = 115.315099999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38086154-1.38084344) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dr = 115.315099999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79038360-0.79047947) × cos(1.38086154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188794854931363 × 6371000     		do = 115.313588430998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79038360-0.79047947) × cos(1.38084344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188812629399975 × 6371000     		du = 115.324444859045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38086154)-sin(1.38084344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188794854931363-0.188812629399975)×R²
    abs(0.79047947-0.79038360)×1.77744686125358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77744686125358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77744686125358e-05×40589641000000     		ar = 13298.0239364704m²