Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41016 / 8280
↖ ↑ ↗
← N 79.080140°
E 45.307617°		 ← 115.71 m → N 79.080140°
E 45.313110°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 79.079099°
E 45.307617°		 ← 115.72 m →
13 395 m²		 N 79.079099°
E 45.313110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625862121582031 y=0.126350402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625862121582031 × 216)
    floor (0.625862121582031 × 65536)
    floor (41016.5)     		tx = 41016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126350402832031 × 216)
    floor (0.126350402832031 × 65536)
    floor (8280.5)     		ty = 8280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41016 / 8280 ti = "16/41016/8280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41016/8280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41016 ÷ 216
    41016 ÷ 65536     		x = 0.6258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8280 ÷ 216
    8280 ÷ 65536     		y = 0.1263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    0.747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34775759579187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79076710} λ = 0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34775759579187))-π/2
    2×atan(10.4620831820549)-π/2
    2×1.47550257105505-π/2
    2.95100514211011-1.57079632675     		φ = 1.38020882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38020882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.080140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41016 KachelY 8280 0.79076710 1.38020882 45.307617 79.080140
    Oben rechts KachelX + 1 41017 KachelY 8280 0.79086297 1.38020882 45.313110 79.080140
    Unten links KachelX 41016 KachelY + 1 8281 0.79076710 1.38019065 45.307617 79.079099
    Unten rechts KachelX + 1 41017 KachelY + 1 8281 0.79086297 1.38019065 45.313110 79.079099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38020882-1.38019065) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38020882-1.38019065) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79076710-0.79086297) × cos(1.38020882) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.189435796510393 × 6371000     		do = 115.705067708888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79076710-0.79086297) × cos(1.38019065) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.189453637476925 × 6371000     		du = 115.715964753051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38020882)-sin(1.38019065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189435796510393-0.189453637476925)×R²
    abs(0.79086297-0.79076710)×1.78409665323453e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.78409665323453e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.78409665323453e-05×40589641000000     		ar = 13394.7731694559m²