Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41020 / 8252
↖ ↑ ↗
← N 79.109238°
E 45.329590°		 ← 115.41 m → N 79.109238°
E 45.335083°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
N 79.108200°
E 45.329590°		 ← 115.42 m →
13 324 m²		 N 79.108200°
E 45.335083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625923156738281 y=0.125923156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625923156738281 × 216)
    floor (0.625923156738281 × 65536)
    floor (41020.5)     		tx = 41020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125923156738281 × 216)
    floor (0.125923156738281 × 65536)
    floor (8252.5)     		ty = 8252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41020 / 8252 ti = "16/41020/8252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41020/8252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41020 ÷ 216
    41020 ÷ 65536     		x = 0.62591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8252 ÷ 216
    8252 ÷ 65536     		y = 0.12591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62591552734375 × 2 - 1) × π
    0.2518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79115059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12591552734375 × 2 - 1) × π
    0.7481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35044206217059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79115059} λ = 0.79115059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35044206217059))-π/2
    2×atan(10.4902060231306)-π/2
    2×1.47575650325186-π/2
    2.95151300650372-1.57079632675     		φ = 1.38071668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79115059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38071668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.109238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41020 KachelY 8252 0.79115059 1.38071668 45.329590 79.109238
    Oben rechts KachelX + 1 41021 KachelY 8252 0.79124647 1.38071668 45.335083 79.109238
    Unten links KachelX 41020 KachelY + 1 8253 0.79115059 1.38069856 45.329590 79.108200
    Unten rechts KachelX + 1 41021 KachelY + 1 8253 0.79124647 1.38069856 45.335083 79.108200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38071668-1.38069856) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38071668-1.38069856) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79115059-0.79124647) × cos(1.38071668) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188937107867296 × 6371000     		do = 115.412511967715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79115059-0.79124647) × cos(1.38069856) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188954901480401 × 6371000     		du = 115.423381222615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38071668)-sin(1.38069856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188937107867296-0.188954901480401)×R²
    abs(0.79124647-0.79115059)×1.77936131044998e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77936131044998e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77936131044998e-05×40589641000000     		ar = 13324.1386085081m²