Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41020 / 8268
↖ ↑ ↗
← N 79.092620°
E 45.329590°		 ← 115.59 m → N 79.092620°
E 45.335083°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
N 79.091580°
E 45.329590°		 ← 115.60 m →
13 366 m²		 N 79.091580°
E 45.335083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625923156738281 y=0.126167297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625923156738281 × 216)
    floor (0.625923156738281 × 65536)
    floor (41020.5)     		tx = 41020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126167297363281 × 216)
    floor (0.126167297363281 × 65536)
    floor (8268.5)     		ty = 8268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41020 / 8268 ti = "16/41020/8268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41020/8268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41020 ÷ 216
    41020 ÷ 65536     		x = 0.62591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8268 ÷ 216
    8268 ÷ 65536     		y = 0.12615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62591552734375 × 2 - 1) × π
    0.2518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79115059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12615966796875 × 2 - 1) × π
    0.7476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34890808138275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79115059} λ = 0.79115059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34890808138275))-π/2
    2×atan(10.4741265845585)-π/2
    2×1.47561148110707-π/2
    2.95122296221413-1.57079632675     		φ = 1.38042664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79115059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38042664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.092620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41020 KachelY 8268 0.79115059 1.38042664 45.329590 79.092620
    Oben rechts KachelX + 1 41021 KachelY 8268 0.79124647 1.38042664 45.335083 79.092620
    Unten links KachelX 41020 KachelY + 1 8269 0.79115059 1.38040849 45.329590 79.091580
    Unten rechts KachelX + 1 41021 KachelY + 1 8269 0.79124647 1.38040849 45.335083 79.091580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38042664-1.38040849) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38042664-1.38040849) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79115059-0.79124647) × cos(1.38042664) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189221916060972 × 6371000     		do = 115.586487474339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79115059-0.79124647) × cos(1.38040849) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189239738138246 × 6371000     		du = 115.597374116618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38042664)-sin(1.38040849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189221916060972-0.189239738138246)×R²
    abs(0.79124647-0.79115059)×1.7822077273244e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.7822077273244e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.7822077273244e-05×40589641000000     		ar = 13366.3168690399m²