Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41022 / 8254
↖ ↑ ↗
← N 79.107163°
E 45.340576°		 ← 115.42 m → N 79.107163°
E 45.346069°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
N 79.106124°
E 45.340576°		 ← 115.43 m →
13 325 m²		 N 79.106124°
E 45.346069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625953674316406 y=0.125953674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625953674316406 × 216)
    floor (0.625953674316406 × 65536)
    floor (41022.5)     		tx = 41022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125953674316406 × 216)
    floor (0.125953674316406 × 65536)
    floor (8254.5)     		ty = 8254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41022 / 8254 ti = "16/41022/8254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41022/8254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41022 ÷ 216
    41022 ÷ 65536     		x = 0.625946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8254 ÷ 216
    8254 ÷ 65536     		y = 0.125946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625946044921875 × 2 - 1) × π
    0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125946044921875 × 2 - 1) × π
    0.74810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35025031457211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79134234} λ = 0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35025031457211))-π/2
    2×atan(10.4881947441532)-π/2
    2×1.47573838742799-π/2
    2.95147677485598-1.57079632675     		φ = 1.38068045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38068045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.107163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41022 KachelY 8254 0.79134234 1.38068045 45.340576 79.107163
    Oben rechts KachelX + 1 41023 KachelY 8254 0.79143821 1.38068045 45.346069 79.107163
    Unten links KachelX 41022 KachelY + 1 8255 0.79134234 1.38066233 45.340576 79.106124
    Unten rechts KachelX + 1 41023 KachelY + 1 8255 0.79143821 1.38066233 45.346069 79.106124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38068045-1.38066233) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38068045-1.38066233) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79134234-0.79143821) × cos(1.38068045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188972685211641 × 6371000     		do = 115.422204991328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79134234-0.79143821) × cos(1.38066233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188990478700693 × 6371000     		du = 115.433073036826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38068045)-sin(1.38066233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188972685211641-0.188990478700693)×R²
    abs(0.79143821-0.79134234)×1.77934890521203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77934890521203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77934890521203e-05×40589641000000     		ar = 13325.2575260855m²