Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41023 / 8384
↖ ↑ ↗
← N 78.971386°
E 45.346069°		 ← 116.86 m → N 78.971386°
E 45.351563°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
N 78.970335°
E 45.346069°		 ← 116.87 m →
13 655 m²		 N 78.970335°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625968933105469 y=0.127937316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625968933105469 × 216)
    floor (0.625968933105469 × 65536)
    floor (41023.5)     		tx = 41023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127937316894531 × 216)
    floor (0.127937316894531 × 65536)
    floor (8384.5)     		ty = 8384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41023 / 8384 ti = "16/41023/8384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41023/8384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41023 ÷ 216
    41023 ÷ 65536     		x = 0.625961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8384 ÷ 216
    8384 ÷ 65536     		y = 0.1279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625961303710938 × 2 - 1) × π
    0.251922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79143821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1279296875 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3377867206709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79143821} λ = 0.79143821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3377867206709))-π/2
    2×atan(10.3582853944792)-π/2
    2×1.47455351304601-π/2
    2.94910702609201-1.57079632675     		φ = 1.37831070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79143821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.346069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37831070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.971386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41023 KachelY 8384 0.79143821 1.37831070 45.346069 78.971386
    Oben rechts KachelX + 1 41024 KachelY 8384 0.79153409 1.37831070 45.351563 78.971386
    Unten links KachelX 41023 KachelY + 1 8385 0.79143821 1.37829236 45.346069 78.970335
    Unten rechts KachelX + 1 41024 KachelY + 1 8385 0.79153409 1.37829236 45.351563 78.970335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37831070-1.37829236) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37831070-1.37829236) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79143821-0.79153409) × cos(1.37831070) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191299205085577 × 6371000     		do = 116.855402549272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79143821-0.79153409) × cos(1.37829236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191317206346053 × 6371000     		du = 116.866398645875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37831070)-sin(1.37829236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191299205085577-0.191317206346053)×R²
    abs(0.79153409-0.79143821)×1.80012604755753e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80012604755753e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80012604755753e-05×40589641000000     		ar = 13654.5114305579m²