Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41026 / 8258
↖ ↑ ↗
← N 79.103009°
E 45.362549°		 ← 115.48 m → N 79.103009°
E 45.368042°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
N 79.101971°
E 45.362549°		 ← 115.49 m →
13 332 m²		 N 79.101971°
E 45.368042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626014709472656 y=0.126014709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626014709472656 × 216)
    floor (0.626014709472656 × 65536)
    floor (41026.5)     		tx = 41026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126014709472656 × 216)
    floor (0.126014709472656 × 65536)
    floor (8258.5)     		ty = 8258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41026 / 8258 ti = "16/41026/8258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41026/8258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41026 ÷ 216
    41026 ÷ 65536     		x = 0.626007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8258 ÷ 216
    8258 ÷ 65536     		y = 0.126007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626007080078125 × 2 - 1) × π
    0.25201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79172583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126007080078125 × 2 - 1) × π
    0.74798583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34986681937515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79172583} λ = 0.79172583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34986681937515))-π/2
    2×atan(10.4841733429873)-π/2
    2×1.47570214554543-π/2
    2.95140429109087-1.57079632675     		φ = 1.38060796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79172583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38060796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.103009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41026 KachelY 8258 0.79172583 1.38060796 45.362549 79.103009
    Oben rechts KachelX + 1 41027 KachelY 8258 0.79182171 1.38060796 45.368042 79.103009
    Unten links KachelX 41026 KachelY + 1 8259 0.79172583 1.38058984 45.362549 79.101971
    Unten rechts KachelX + 1 41027 KachelY + 1 8259 0.79182171 1.38058984 45.368042 79.101971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38060796-1.38058984) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38060796-1.38058984) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79172583-0.79182171) × cos(1.38060796) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.1890438686152 × 6371000     		do = 115.477726928579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79172583-0.79182171) × cos(1.38058984) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189061661855975 × 6371000     		du = 115.48859595604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38060796)-sin(1.38058984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1890438686152-0.189061661855975)×R²
    abs(0.79182171-0.79172583)×1.77932407745274e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77932407745274e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77932407745274e-05×40589641000000     		ar = 13331.6671750731m²