Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41028 / 8132
↖ ↑ ↗
← N 79.233081°
E 45.373535°		 ← 114.12 m → N 79.233081°
E 45.379029°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
N 79.232055°
E 45.373535°		 ← 114.13 m →
13 022 m²		 N 79.232055°
E 45.379029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626045227050781 y=0.124092102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626045227050781 × 216)
    floor (0.626045227050781 × 65536)
    floor (41028.5)     		tx = 41028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124092102050781 × 216)
    floor (0.124092102050781 × 65536)
    floor (8132.5)     		ty = 8132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41028 / 8132 ti = "16/41028/8132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41028/8132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41028 ÷ 216
    41028 ÷ 65536     		x = 0.62603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8132 ÷ 216
    8132 ÷ 65536     		y = 0.12408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62603759765625 × 2 - 1) × π
    0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12408447265625 × 2 - 1) × π
    0.7518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36194691807941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79191758} λ = 0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36194691807941))-π/2
    2×atan(10.6115912527753)-π/2
    2×1.47683723315976-π/2
    2.95367446631951-1.57079632675     		φ = 1.38287814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38287814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.233081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41028 KachelY 8132 0.79191758 1.38287814 45.373535 79.233081
    Oben rechts KachelX + 1 41029 KachelY 8132 0.79201346 1.38287814 45.379029 79.233081
    Unten links KachelX 41028 KachelY + 1 8133 0.79191758 1.38286023 45.373535 79.232055
    Unten rechts KachelX + 1 41029 KachelY + 1 8133 0.79201346 1.38286023 45.379029 79.232055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38287814-1.38286023) × R
    1.79100000001764e-05 × 6371000     		dl = 114.104610001124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38287814-1.38286023) × R
    1.79100000001764e-05 × 6371000     		dr = 114.104610001124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79191758-0.79201346) × cos(1.38287814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18681413781705 × 6371000     		do = 114.115692570394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79191758-0.79201346) × cos(1.38286023) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186831732486476 × 6371000     		du = 114.126440300253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38287814)-sin(1.38286023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18681413781705-0.186831732486476)×R²
    abs(0.79201346-0.79191758)×1.75946694267737e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75946694267737e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75946694267737e-05×40589641000000     		ar = 13021.739778987m²