Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41032 / 24648
↖ ↑ ↗
← N 40.680638°
E 45.395508°		 ← 463.19 m → N 40.680638°
E 45.401001°		 →
↑
463.24 m
↓
↑
463.24 m
↓
N 40.676472°
E 45.395508°		 ← 463.22 m →
214 574 m²		 N 40.676472°
E 45.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626106262207031 y=0.376106262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626106262207031 × 216)
    floor (0.626106262207031 × 65536)
    floor (41032.5)     		tx = 41032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376106262207031 × 216)
    floor (0.376106262207031 × 65536)
    floor (24648.5)     		ty = 24648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41032 / 24648 ti = "16/41032/24648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41032/24648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41032 ÷ 216
    41032 ÷ 65536     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24648 ÷ 216
    24648 ÷ 65536     		y = 0.3760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.778495249829712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.778495249829712))-π/2
    2×atan(2.17819216322136)-π/2
    2×1.14040370106501-π/2
    2.28080740213002-1.57079632675     		φ = 0.71001108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71001108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.680638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41032 KachelY 24648 0.79230108 0.71001108 45.395508 40.680638
    Oben rechts KachelX + 1 41033 KachelY 24648 0.79239695 0.71001108 45.401001 40.680638
    Unten links KachelX 41032 KachelY + 1 24649 0.79230108 0.70993837 45.395508 40.676472
    Unten rechts KachelX + 1 41033 KachelY + 1 24649 0.79239695 0.70993837 45.401001 40.676472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71001108-0.70993837) × R
    7.27099999999758e-05 × 6371000     		dl = 463.235409999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71001108-0.70993837) × R
    7.27099999999758e-05 × 6371000     		dr = 463.235409999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(0.71001108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758354653625775 × 6371000     		do = 463.193747757199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(0.70993837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758402047065564 × 6371000     		du = 463.222695090601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71001108)-sin(0.70993837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758354653625775-0.758402047065564)×R²
    abs(0.79239695-0.79230108)×4.73934397894338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73934397894338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73934397894338e-05×40589641000000     		ar = 214574.450460935m²