Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41032 / 8248
↖ ↑ ↗
← N 79.113389°
E 45.395508°		 ← 115.36 m → N 79.113389°
E 45.401001°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
N 79.112351°
E 45.395508°		 ← 115.37 m →
13 310 m²		 N 79.112351°
E 45.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626106262207031 y=0.125862121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626106262207031 × 216)
    floor (0.626106262207031 × 65536)
    floor (41032.5)     		tx = 41032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125862121582031 × 216)
    floor (0.125862121582031 × 65536)
    floor (8248.5)     		ty = 8248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41032 / 8248 ti = "16/41032/8248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41032/8248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41032 ÷ 216
    41032 ÷ 65536     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8248 ÷ 216
    8248 ÷ 65536     		y = 0.1258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1258544921875 × 2 - 1) × π
    0.748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35082555736755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35082555736755))-π/2
    2×atan(10.494229738244)-π/2
    2×1.47579272466787-π/2
    2.95158544933575-1.57079632675     		φ = 1.38078912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38078912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.113389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41032 KachelY 8248 0.79230108 1.38078912 45.395508 79.113389
    Oben rechts KachelX + 1 41033 KachelY 8248 0.79239695 1.38078912 45.401001 79.113389
    Unten links KachelX 41032 KachelY + 1 8249 0.79230108 1.38077101 45.395508 79.112351
    Unten rechts KachelX + 1 41033 KachelY + 1 8249 0.79239695 1.38077101 45.401001 79.112351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38078912-1.38077101) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38078912-1.38077101) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(1.38078912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188865972074706 × 6371000     		do = 115.35702591239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(1.38077101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188883756115782 × 6371000     		du = 115.36788818718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38078912)-sin(1.38077101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188865972074706-0.188883756115782)×R²
    abs(0.79239695-0.79230108)×1.77840410762742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77840410762742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77840410762742e-05×40589641000000     		ar = 13310.383013518m²