Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41032 / 8264
↖ ↑ ↗
← N 79.096777°
E 45.395508°		 ← 115.53 m → N 79.096777°
E 45.401001°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
N 79.095738°
E 45.395508°		 ← 115.54 m →
13 353 m²		 N 79.095738°
E 45.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626106262207031 y=0.126106262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626106262207031 × 216)
    floor (0.626106262207031 × 65536)
    floor (41032.5)     		tx = 41032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126106262207031 × 216)
    floor (0.126106262207031 × 65536)
    floor (8264.5)     		ty = 8264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41032 / 8264 ti = "16/41032/8264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41032/8264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41032 ÷ 216
    41032 ÷ 65536     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8264 ÷ 216
    8264 ÷ 65536     		y = 0.1260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1260986328125 × 2 - 1) × π
    0.747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34929157657971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34929157657971))-π/2
    2×atan(10.4781441321019)-π/2
    2×1.47564775712527-π/2
    2.95129551425055-1.57079632675     		φ = 1.38049919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38049919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.096777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41032 KachelY 8264 0.79230108 1.38049919 45.395508 79.096777
    Oben rechts KachelX + 1 41033 KachelY 8264 0.79239695 1.38049919 45.401001 79.096777
    Unten links KachelX 41032 KachelY + 1 8265 0.79230108 1.38048105 45.395508 79.095738
    Unten rechts KachelX + 1 41033 KachelY + 1 8265 0.79239695 1.38048105 45.401001 79.095738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38049919-1.38048105) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dl = 115.569940000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38049919-1.38048105) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dr = 115.569940000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(1.38049919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189150676226003 × 6371000     		do = 115.53091972607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(1.38048105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189168488732958 × 6371000     		du = 115.541799387471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38049919)-sin(1.38048105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189150676226003-0.189168488732958)×R²
    abs(0.79239695-0.79230108)×1.78125069558166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78125069558166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78125069558166e-05×40589641000000     		ar = 13352.5301426151m²