Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4104 / 4119
↖ ↑ ↗
← S  1.010690°
E  0.351562°		 ← 4 885.73 m → S  1.010690°
E  0.395508°		 →
↑
4 885.73 m
↓
↑
4 885.73 m
↓
S  1.054628°
E  0.351562°		 ← 4 885.67 m →
23 870 203 m²		 S  1.054628°
E  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50103759765625 y=0.50286865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50103759765625 × 213)
    floor (0.50103759765625 × 8192)
    floor (4104.5)     		tx = 4104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50286865234375 × 213)
    floor (0.50286865234375 × 8192)
    floor (4119.5)     		ty = 4119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4104 / 4119 ti = "13/4104/4119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4104/4119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4104 ÷ 213
    4104 ÷ 8192     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4119 ÷ 213
    4119 ÷ 8192     		y = 0.5028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0176407790601807))-π/2
    2×atan(0.982513908543861)-π/2
    2×0.776578231311689-π/2
    1.55315646262338-1.57079632675     		φ = -0.01763986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01763986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.010690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4104 KachelY 4119 0.00613592 -0.01763986 0.351562 -1.010690
    Oben rechts KachelX + 1 4105 KachelY 4119 0.00690291 -0.01763986 0.395508 -1.010690
    Unten links KachelX 4104 KachelY + 1 4120 0.00613592 -0.01840673 0.351562 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 4105 KachelY + 1 4120 0.00690291 -0.01840673 0.395508 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01763986--0.01840673) × R
    0.000766869999999999 × 6371000     		dl = 4885.72877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01763986--0.01840673) × R
    0.000766869999999999 × 6371000     		dr = 4885.72877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00690291) × cos(-0.01763986) × R
    0.00076699 × 0.999844421703859 × 6371000     		do = 4885.73305769984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00690291) × cos(-0.01840673) × R
    0.00076699 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 4885.66552257253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01763986)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999844421703859-0.999830600928244)×R²
    abs(0.00690291-0.00613592)×1.38207756147368e-05×R²
    0.00076699×1.38207756147368e-05×6371000²
    0.00076699×1.38207756147368e-05×40589641000000     		ar = 23870202.7532051m²