Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41041 / 8271
↖ ↑ ↗
← N 79.089501°
E 45.444946°		 ← 115.61 m → N 79.089501°
E 45.450439°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
N 79.088462°
E 45.444946°		 ← 115.62 m →
13 361 m²		 N 79.088462°
E 45.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626243591308594 y=0.126213073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626243591308594 × 216)
    floor (0.626243591308594 × 65536)
    floor (41041.5)     		tx = 41041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126213073730469 × 216)
    floor (0.126213073730469 × 65536)
    floor (8271.5)     		ty = 8271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41041 / 8271 ti = "16/41041/8271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41041/8271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41041 ÷ 216
    41041 ÷ 65536     		x = 0.626235961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8271 ÷ 216
    8271 ÷ 65536     		y = 0.126205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626235961914062 × 2 - 1) × π
    0.252471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79316394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126205444335938 × 2 - 1) × π
    0.747589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34862045998503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79316394} λ = 0.79316394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34862045998503))-π/2
    2×atan(10.4711144348305)-π/2
    2×1.47558426512738-π/2
    2.95116853025477-1.57079632675     		φ = 1.38037220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79316394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.444946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38037220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.089501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41041 KachelY 8271 0.79316394 1.38037220 45.444946 79.089501
    Oben rechts KachelX + 1 41042 KachelY 8271 0.79325981 1.38037220 45.450439 79.089501
    Unten links KachelX 41041 KachelY + 1 8272 0.79316394 1.38035406 45.444946 79.088462
    Unten rechts KachelX + 1 41042 KachelY + 1 8272 0.79325981 1.38035406 45.450439 79.088462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38037220-1.38035406) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dl = 115.569940000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38037220-1.38035406) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dr = 115.569940000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79316394-0.79325981) × cos(1.38037220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189275372286526 × 6371000     		do = 115.607082554805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79316394-0.79325981) × cos(1.38035406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189293184357591 × 6371000     		du = 115.617961949969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38037220)-sin(1.38035406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189275372286526-0.189293184357591)×R²
    abs(0.79325981-0.79316394)×1.78120710644381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78120710644381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78120710644381e-05×40589641000000     		ar = 13361.3322604113m²