Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41042 / 8274
↖ ↑ ↗
← N 79.086382°
E 45.450439°		 ← 115.65 m → N 79.086382°
E 45.455933°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
N 79.085342°
E 45.450439°		 ← 115.66 m →
13 381 m²		 N 79.085342°
E 45.455933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626258850097656 y=0.126258850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626258850097656 × 216)
    floor (0.626258850097656 × 65536)
    floor (41042.5)     		tx = 41042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126258850097656 × 216)
    floor (0.126258850097656 × 65536)
    floor (8274.5)     		ty = 8274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41042 / 8274 ti = "16/41042/8274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41042/8274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41042 ÷ 216
    41042 ÷ 65536     		x = 0.626251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8274 ÷ 216
    8274 ÷ 65536     		y = 0.126251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626251220703125 × 2 - 1) × π
    0.25250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79325981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126251220703125 × 2 - 1) × π
    0.74749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34833283858731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79325981} λ = 0.79325981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34833283858731))-π/2
    2×atan(10.4681031513366)-π/2
    2×1.47555704146021-π/2
    2.95111408292043-1.57079632675     		φ = 1.38031776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79325981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.450439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38031776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.086382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41042 KachelY 8274 0.79325981 1.38031776 45.450439 79.086382
    Oben rechts KachelX + 1 41043 KachelY 8274 0.79335569 1.38031776 45.455933 79.086382
    Unten links KachelX 41042 KachelY + 1 8275 0.79325981 1.38029960 45.450439 79.085342
    Unten rechts KachelX + 1 41043 KachelY + 1 8275 0.79335569 1.38029960 45.455933 79.085342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38031776-1.38029960) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38031776-1.38029960) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79325981-0.79335569) × cos(1.38031776) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189328827951122 × 6371000     		do = 115.651794760532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79325981-0.79335569) × cos(1.38029960) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18934665947344 × 6371000     		du = 115.662687172331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38031776)-sin(1.38029960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189328827951122-0.18934665947344)×R²
    abs(0.79335569-0.79325981)×1.78315223179348e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78315223179348e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78315223179348e-05×40589641000000     		ar = 13381.2374453385m²