Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41044 / 8276
↖ ↑ ↗
← N 79.084302°
E 45.461426°		 ← 115.67 m → N 79.084302°
E 45.466919°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
N 79.083261°
E 45.461426°		 ← 115.68 m →
13 384 m²		 N 79.083261°
E 45.466919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626289367675781 y=0.126289367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626289367675781 × 216)
    floor (0.626289367675781 × 65536)
    floor (41044.5)     		tx = 41044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126289367675781 × 216)
    floor (0.126289367675781 × 65536)
    floor (8276.5)     		ty = 8276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41044 / 8276 ti = "16/41044/8276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41044/8276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41044 ÷ 216
    41044 ÷ 65536     		x = 0.62628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8276 ÷ 216
    8276 ÷ 65536     		y = 0.12628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    0.2525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79345156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12628173828125 × 2 - 1) × π
    0.7474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34814109098883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79345156} λ = 0.79345156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34814109098883))-π/2
    2×atan(10.4660961101255)-π/2
    2×1.47553888807691-π/2
    2.95107777615382-1.57079632675     		φ = 1.38028145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79345156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38028145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.084302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41044 KachelY 8276 0.79345156 1.38028145 45.461426 79.084302
    Oben rechts KachelX + 1 41045 KachelY 8276 0.79354744 1.38028145 45.466919 79.084302
    Unten links KachelX 41044 KachelY + 1 8277 0.79345156 1.38026329 45.461426 79.083261
    Unten rechts KachelX + 1 41045 KachelY + 1 8277 0.79354744 1.38026329 45.466919 79.083261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38028145-1.38026329) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38028145-1.38026329) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79345156-0.79354744) × cos(1.38028145) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189364481114245 × 6371000     		do = 115.673573548127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79345156-0.79354744) × cos(1.38026329) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189382312511704 × 6371000     		du = 115.684465883655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38028145)-sin(1.38026329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189364481114245-0.189382312511704)×R²
    abs(0.79354744-0.79345156)×1.78313974588395e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78313974588395e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78313974588395e-05×40589641000000     		ar = 13383.757188719m²