Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41055 / 8289
↖ ↑ ↗
← N 79.070771°
E 45.521850°		 ← 115.82 m → N 79.070771°
E 45.527344°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
N 79.069729°
E 45.521850°		 ← 115.83 m →
13 415 m²		 N 79.069729°
E 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626457214355469 y=0.126487731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626457214355469 × 216)
    floor (0.626457214355469 × 65536)
    floor (41055.5)     		tx = 41055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126487731933594 × 216)
    floor (0.126487731933594 × 65536)
    floor (8289.5)     		ty = 8289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41055 / 8289 ti = "16/41055/8289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41055/8289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41055 ÷ 216
    41055 ÷ 65536     		x = 0.626449584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8289 ÷ 216
    8289 ÷ 65536     		y = 0.126480102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626449584960938 × 2 - 1) × π
    0.252899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79450617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126480102539062 × 2 - 1) × π
    0.747039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34689473159871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79450617} λ = 0.79450617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34689473159871))-π/2
    2×atan(10.4530597186628)-π/2
    2×1.47542080773888-π/2
    2.95084161547775-1.57079632675     		φ = 1.38004529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79450617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.521850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38004529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.070771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41055 KachelY 8289 0.79450617 1.38004529 45.521850 79.070771
    Oben rechts KachelX + 1 41056 KachelY 8289 0.79460205 1.38004529 45.527344 79.070771
    Unten links KachelX 41055 KachelY + 1 8290 0.79450617 1.38002711 45.521850 79.069729
    Unten rechts KachelX + 1 41056 KachelY + 1 8290 0.79460205 1.38002711 45.527344 79.069729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38004529-1.38002711) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dl = 115.824780000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38004529-1.38002711) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dr = 115.824780000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79450617-0.79460205) × cos(1.38004529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189596362956965 × 6371000     		do = 115.815218914803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79450617-0.79460205) × cos(1.38002711) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189614213178941 × 6371000     		du = 115.826122749316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38004529)-sin(1.38002711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189596362956965-0.189614213178941)×R²
    abs(0.79460205-0.79450617)×1.78502219759791e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78502219759791e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78502219759791e-05×40589641000000     		ar = 13414.9037192067m²