Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41056 / 8160
↖ ↑ ↗
← N 79.204309°
E 45.527344°		 ← 114.41 m → N 79.204309°
E 45.532837°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
N 79.203280°
E 45.527344°		 ← 114.42 m →
13 091 m²		 N 79.203280°
E 45.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626472473144531 y=0.124519348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626472473144531 × 216)
    floor (0.626472473144531 × 65536)
    floor (41056.5)     		tx = 41056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124519348144531 × 216)
    floor (0.124519348144531 × 65536)
    floor (8160.5)     		ty = 8160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41056 / 8160 ti = "16/41056/8160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41056/8160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41056 ÷ 216
    41056 ÷ 65536     		x = 0.62646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8160 ÷ 216
    8160 ÷ 65536     		y = 0.12451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12451171875 × 2 - 1) × π
    0.7509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35926245170068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79460205} λ = 0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35926245170068))-π/2
    2×atan(10.5831429941134)-π/2
    2×1.47658615410543-π/2
    2.95317230821086-1.57079632675     		φ = 1.38237598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38237598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.204309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41056 KachelY 8160 0.79460205 1.38237598 45.527344 79.204309
    Oben rechts KachelX + 1 41057 KachelY 8160 0.79469792 1.38237598 45.532837 79.204309
    Unten links KachelX 41056 KachelY + 1 8161 0.79460205 1.38235802 45.527344 79.203280
    Unten rechts KachelX + 1 41057 KachelY + 1 8161 0.79469792 1.38235802 45.532837 79.203280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38237598-1.38235802) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dl = 114.423159999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38237598-1.38235802) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dr = 114.423159999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79460205-0.79469792) × cos(1.38237598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18730743385405 × 6371000     		do = 114.405089828135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79460205-0.79469792) × cos(1.38235802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187325075955931 × 6371000     		du = 114.415865408201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38237598)-sin(1.38235802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18730743385405-0.187325075955931)×R²
    abs(0.79469792-0.79460205)×1.76421018805162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76421018805162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76421018805162e-05×40589641000000     		ar = 13091.2083865272m²