Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41057 / 8161
↖ ↑ ↗
← N 79.203280°
E 45.532837°		 ← 114.43 m → N 79.203280°
E 45.538330°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
N 79.202251°
E 45.532837°		 ← 114.44 m →
13 094 m²		 N 79.202251°
E 45.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626487731933594 y=0.124534606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626487731933594 × 216)
    floor (0.626487731933594 × 65536)
    floor (41057.5)     		tx = 41057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124534606933594 × 216)
    floor (0.124534606933594 × 65536)
    floor (8161.5)     		ty = 8161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41057 / 8161 ti = "16/41057/8161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41057/8161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41057 ÷ 216
    41057 ÷ 65536     		x = 0.626480102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8161 ÷ 216
    8161 ÷ 65536     		y = 0.124526977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626480102539062 × 2 - 1) × π
    0.252960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79469792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124526977539062 × 2 - 1) × π
    0.750946044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35916657790144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79469792} λ = 0.79469792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35916657790144))-π/2
    2×atan(10.5821283966241)-π/2
    2×1.47657717474502-π/2
    2.95315434949005-1.57079632675     		φ = 1.38235802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79469792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.532837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38235802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.203280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41057 KachelY 8161 0.79469792 1.38235802 45.532837 79.203280
    Oben rechts KachelX + 1 41058 KachelY 8161 0.79479380 1.38235802 45.538330 79.203280
    Unten links KachelX 41057 KachelY + 1 8162 0.79469792 1.38234006 45.532837 79.202251
    Unten rechts KachelX + 1 41058 KachelY + 1 8162 0.79479380 1.38234006 45.538330 79.202251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38235802-1.38234006) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38235802-1.38234006) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79469792-0.79479380) × cos(1.38235802) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187325075955931 × 6371000     		do = 114.42779988885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79469792-0.79479380) × cos(1.38234006) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187342717997388 × 6371000     		du = 114.438576555984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38235802)-sin(1.38234006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187325075955931-0.187342717997388)×R²
    abs(0.79479380-0.79469792)×1.76420414568779e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76420414568779e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76420414568779e-05×40589641000000     		ar = 13093.807005821m²