Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41058 / 8162
↖ ↑ ↗
← N 79.202251°
E 45.538330°		 ← 114.43 m → N 79.202251°
E 45.543823°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
N 79.201222°
E 45.538330°		 ← 114.44 m →
13 094 m²		 N 79.201222°
E 45.543823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626502990722656 y=0.124549865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626502990722656 × 216)
    floor (0.626502990722656 × 65536)
    floor (41058.5)     		tx = 41058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124549865722656 × 216)
    floor (0.124549865722656 × 65536)
    floor (8162.5)     		ty = 8162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41058 / 8162 ti = "16/41058/8162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41058/8162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41058 ÷ 216
    41058 ÷ 65536     		x = 0.626495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8162 ÷ 216
    8162 ÷ 65536     		y = 0.124542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626495361328125 × 2 - 1) × π
    0.25299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79479380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124542236328125 × 2 - 1) × π
    0.75091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3590707041022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79479380} λ = 0.79479380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3590707041022))-π/2
    2×atan(10.5811138964035)-π/2
    2×1.47656819453893-π/2
    2.95313638907786-1.57079632675     		φ = 1.38234006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79479380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.538330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38234006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.202251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41058 KachelY 8162 0.79479380 1.38234006 45.538330 79.202251
    Oben rechts KachelX + 1 41059 KachelY 8162 0.79488967 1.38234006 45.543823 79.202251
    Unten links KachelX 41058 KachelY + 1 8163 0.79479380 1.38232210 45.538330 79.201222
    Unten rechts KachelX + 1 41059 KachelY + 1 8163 0.79488967 1.38232210 45.543823 79.201222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38234006-1.38232210) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dl = 114.423159999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38234006-1.38232210) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dr = 114.423159999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79479380-0.79488967) × cos(1.38234006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187342717997388 × 6371000     		do = 114.426640951361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79479380-0.79488967) × cos(1.38232210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187360359978415 × 6371000     		du = 114.437416457611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38234006)-sin(1.38232210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187342717997388-0.187360359978415)×R²
    abs(0.79488967-0.79479380)×1.76419810270778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76419810270778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76419810270778e-05×40589641000000     		ar = 13093.6743297761m²