Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4107 / 4123
↖ ↑ ↗
← S  1.186439°
E  0.483398°		 ← 4 885.45 m → S  1.186439°
E  0.527343°		 →
↑
4 885.41 m
↓
↑
4 885.41 m
↓
S  1.230374°
E  0.483398°		 ← 4 885.37 m →
23 867 214 m²		 S  1.230374°
E  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50140380859375 y=0.50335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50140380859375 × 213)
    floor (0.50140380859375 × 8192)
    floor (4107.5)     		tx = 4107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50335693359375 × 213)
    floor (0.50335693359375 × 8192)
    floor (4123.5)     		ty = 4123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4107 / 4123 ti = "13/4107/4123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4107/4123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4107 ÷ 213
    4107 ÷ 8192     		x = 0.5013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4123 ÷ 213
    4123 ÷ 8192     		y = 0.5032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5013427734375 × 2 - 1) × π
    0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0207087406358643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00843689} λ = 0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0207087406358643))-π/2
    2×atan(0.979504212801023)-π/2
    2×0.775044533082144-π/2
    1.55008906616429-1.57079632675     		φ = -0.02070726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02070726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.186439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4107 KachelY 4123 0.00843689 -0.02070726 0.483398 -1.186439
    Oben rechts KachelX + 1 4108 KachelY 4123 0.00920388 -0.02070726 0.527343 -1.186439
    Unten links KachelX 4107 KachelY + 1 4124 0.00843689 -0.02147408 0.483398 -1.230374
    Unten rechts KachelX + 1 4108 KachelY + 1 4124 0.00920388 -0.02147408 0.527343 -1.230374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02070726--0.02147408) × R
    0.000766819999999998 × 6371000     		dl = 4885.41021999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02070726--0.02147408) × R
    0.000766819999999998 × 6371000     		dr = 4885.41021999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00843689-0.00920388) × cos(-0.02070726) × R
    0.000766989999999999 × 0.999785612352428 × 6371000     		do = 4885.44568619867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00843689-0.00920388) × cos(-0.02147408) × R
    0.000766989999999999 × 0.999769440804212 × 6371000     		du = 4885.36666403683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02070726)-sin(-0.02147408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999785612352428-0.999769440804212)×R²
    abs(0.00920388-0.00843689)×1.61715482160929e-05×R²
    0.000766989999999999×1.61715482160929e-05×6371000²
    0.000766989999999999×1.61715482160929e-05×40589641000000     		ar = 23867214.4262905m²