Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4108 / 4124
↖ ↑ ↗
← S  1.230374°
E  0.527343°		 ← 4 885.43 m → S  1.230374°
E  0.571289°		 →
↑
4 885.35 m
↓
↑
4 885.35 m
↓
S  1.274309°
E  0.527343°		 ← 4 885.35 m →
23 866 821 m²		 S  1.274309°
E  0.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50152587890625 y=0.50347900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50152587890625 × 213)
    floor (0.50152587890625 × 8192)
    floor (4108.5)     		tx = 4108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50347900390625 × 213)
    floor (0.50347900390625 × 8192)
    floor (4124.5)     		ty = 4124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4108 / 4124 ti = "13/4108/4124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4108/4124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4108 ÷ 213
    4108 ÷ 8192     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4124 ÷ 213
    4124 ÷ 8192     		y = 0.50341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0214757310297852))-π/2
    2×atan(0.978753230513914)-π/2
    2×0.774661123183897-π/2
    1.54932224636779-1.57079632675     		φ = -0.02147408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02147408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.230374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4108 KachelY 4124 0.00920388 -0.02147408 0.527343 -1.230374
    Oben rechts KachelX + 1 4109 KachelY 4124 0.00997088 -0.02147408 0.571289 -1.230374
    Unten links KachelX 4108 KachelY + 1 4125 0.00920388 -0.02224089 0.527343 -1.274309
    Unten rechts KachelX + 1 4109 KachelY + 1 4125 0.00997088 -0.02224089 0.571289 -1.274309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02147408--0.02224089) × R
    0.00076681 × 6371000     		dl = 4885.34651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02147408--0.02224089) × R
    0.00076681 × 6371000     		dr = 4885.34651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00997088) × cos(-0.02147408) × R
    0.000767 × 0.999769440804212 × 6371000     		do = 4885.43035934791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00997088) × cos(-0.02224089) × R
    0.000767 × 0.999752681601075 × 6371000     		du = 4885.34846454651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02147408)-sin(-0.02224089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999769440804212-0.999752681601075)×R²
    abs(0.00997088-0.00920388)×1.67592031372621e-05×R²
    0.000767×1.67592031372621e-05×6371000²
    0.000767×1.67592031372621e-05×40589641000000     		ar = 23866821.2831166m²